フーリエ変換の本質

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工学系の大学生なら、2回生ぐらいで習うフーリエ変換。フーリエ級数やらフーリエ展開やらの式だけ覚えさせられて、フーリエ変換の意味を理解してない人が多いようです。

そこで、フーリエ変換とは何か?をサクっと説明してみましょう。

fourier1

全ての信号は、上図のようにsin波の足しあわせで表現することが出来ます。

具体的には、周波数が1のsinxと周波数が2のsin2xと周波数が3のsin3xと・・・周波数がnのsinnxを足し合わせることで、あらゆる信号を表現することが出来るのです。

しかし、ただ単にy=sinx+sin2x+sin3x+・・・としたのでは1種類の信号しか表現できません。そこで、各周波数の振幅を変化させることで、あらゆる信号を表現するのです。

上記の信号の場合、y=4*sinx+0.5*sin2x+2*sin3x+sin4xと表現できます。

fourier2

さて、先程の図を用いて、周波数を横軸に、振幅の大きさ(パワー値)を縦軸にとってグラフを書きなおしてみます。周波数が1の波(sinx)の振幅は4なので、f=1ではパワー値が4になります。同様に、f=2でP=0.5、f=3でP=2、f=4でP=1をとると上図の右のグラフのようになります。

これこそが、フーリエ変換の結果なのです。

fourier3

さて、ではこの結果は何を意味しているのでしょうか?この結果は、左図の信号に周波数1の波が大きさ4で含まれていること、周波数2の波が大きさ0.5で含まれていること、周波数3の波が・・・ということを意味しています。

要するに、フーリエ変換を行えば、「信号に含まれる周波数の成分比」を得ることが出来ます。本質はこれだけです。
 
 

参考図書

 
 
「フーリエの冒険」
フーリエ変換についてゼロから勉強するなら、まずは本書がとってもお薦めです。この本では難しい数学や数式を使うこと無く、かみ砕いてフーリエ変換の本質を説明してくれています。微積や三角関数の説明も丁寧にしてくれていて、作者の「フーリエ変換の本質を伝えたい」という気持ちが伝わってくるような一冊です。

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「今日から使えるフーリエ変換」
上記の参考書と同様、フーリエ変換の本質についてサックリ明解に説明してくれている参考書です。もちろん、フーリエ変換の本質だけでなく、数学的な話から実用的な話までカバーしているので、工学系にいる人には必須の一冊です。入門書と中級書をつないでくれる非常に良書だと思います。
 

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この本は絶対に「買い」です!理由不要です(笑)本書では最小二乗からフーリエ変換、顔認識、ウェーブレットまでを説明しています。この何も関係なさそうなカテゴリが本書を読めば一本の糸で繋がります。とにかく、知的感動を味わいたいならぜひ!
 

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あと・・・
僕の作ったアプリもよろしく(笑)
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3 Responses to “フーリエ変換の本質”

  1. passing より:

    いままでwebで見かけ中で、一番わかりやすい説明でした!
    本も買ってみようと思います!

  2. ぜんまい より:

    波の強さというと、振幅の2乗の強度のことと混同してしまうので、大きさか振幅と言い換えたほうがいいと思います。

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